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Como surgiu a matemática?

     As origens da matemática perdem-se no tempo. Os mais antigos registos matemáticos de que se tem conhecimento datam de 2400 a.C. Progressivamente, o homem foi reflectindo acerca do que se sabia e do que se queria saber. Algumas tribos apenas conheciam o "um", "dois" e "muitos". Os seus problemas do quotidiano, como a contagem e a medida de comprimentos e de áreas, sugeriram a invenção de conceitos cada vez mais perfeitos. Os "Elementos" do grego Euclides (séc. IV a.C.) foram dos primeiros livros de matemática que apresentaram de forma sistemática a construção dos teoremas da geometria e foram utilizados no ensino em todo o mundo até ao século XVII. Mesmo a antiquíssima Astrologia proporcionou o desenvolvimento da matemática, ao exigir a construção de definições e o rigor no cálculo das posições dos astros.

            A matemática começou por ser "a ciência que tem por objecto a medida e as propriedades das grandezas" (dicionário), mas actualmente é cada vez mais a ciência do padrão e da estrutura dedutiva. Como afirmou P. Dirac, as matemáticas são a ferramenta especialmente adaptada ao tratamento das noções abstractas de qualquer natureza e, neste domínio, seu poder é ilimitado.

            A etnomatemática é um ramo recente da matemática que investiga conhecimentos matemáticos populares ([ 2] p.p. 27-47). E podemos afirmar que todos os povos têm alguns conhecimentos de matemática, mesmo que sejam muito intuitivos tais como medições, proporções, desenhos geométricos que se vêem no artesanato (como a cestaria).

            A matemática sempre desempenhou um papel único no desenvolvimento das sociedades (Ap. A). Por exemplo, numa situação de guerra, o exército que possui mais conhecimentos de matemática tem maior poder traduzido nas máquinas mais perfeitas e melhor adaptadas.

            Até ao séc. XVI apenas as pessoas com dinheiro ou os sacerdotes poderiam despender tempo no estudo da matemática. De há quatrocentos anos para cá, a monarquia e o clero deixaram de ser os únicos que financiaram a matemática, passando este papel a ser desempenhado pelas universidades e pelas empresas (como por exemplo a IBM). Ao contrário do que muitos pensam, amatemática não consiste apenas em demostrar teoremas ou em fazer contas, ela um autêntico tesouro para a civilização devido aos diversos conhecimentos envolvidos. E sabendo isso, actualmente poucos são os países em que não se cria matemática nova, publicando-se assim em todo o mundo alguns milhares de revistas exclusivamente de matemática.
  

Onde podemos encontrar a matemática?

            Nos livros, filmes, desenhos, computadores e um pouco por toda a natureza.

            Poderemos ver um "segmento de recta" na aresta de um edifício, uma circunferência vê-se na ondulação da superfície da água quando deixamos cair um objecto, uma secção da elipse pode ser observada na parede de um poço redondo iluminado pelo sol, as sombras dos objectos representam figuras geométricas, na disposição das pétalas de uma flor podem encontrar-se simetrias, o batimento cardíaco pode ser um exemplo de uma sucessão, o ar move-se num percurso espiralado, etc. "O estudo aprofundado da natureza é a fonte mais fecunda das descobertas matemáticas" (Joseph Fourrier). Assim, até parece que "o universo impôs a matemática à humanidade" ([ 1] p76).
   "Aquela por vezes cristalina [ ...] e por vezes difusa substância [ ...] que é a matemática" (Imre Lakatos), trata de figuras, sólidos e suas propriedades na Geometria; sintetiza problemas do comércio, seguros e finanças através da Álgebra e da Análise; estuda e estrutura dados com a Estatística; desenvolve a Química e a Física com a Análise; estuda os percursos rodoviários e aéreos com a Teoria de grafos; apoia a estrutura das línguas com a Lógica. A esta matemática que é utilizada fora de si mesma chama-se matemática aplicada. E milhares de outras subcategorias da matemática podem aplicar-se a diversos outros saberes (Ap. C). Até a investigação criminal poderia bem ser considerada um ramo da matemática, como chegou a afirmar Conan Doyle.

            Mas muita matemática que se faz actualmente não é imediatamente aplicável, podendo vir a ser um forte contributo para as teorias de outros saberes ou a ficar para sempre esquecida.

          A matemática é cada vez menos fruto do trabalho isolado de uma pessoa. Mas antes resulta de um grupo de matemáticos ou das relações profissionais entre várias pessoas. Ou ainda, é um esforço que pode demorar séculos. 

             Ao longo da história muitos homens contribuíram significativamente para o seu desenvolvimento (Ap. B). O trabalho de um foi analisado por outro matemático e assim sucessivamente até ao presente, sendo muitas vezes melhorado.

            Nem sempre o que um matemático faz está correcto. Ele também se engana. Não é um ser superior nem vive em casulos. E quando um erro lhe é apontado, verifica, reconhece-o e agradece com delicadeza.

Que ferramentas são necessárias para a investigação matemática? Muitos podem pensar que é suficiente um lápis e muita massa cinzenta. Mas a matemática não é feita apenas dentro da cabeça. Há muitos utensílios que auxiliam a sua produção: o compasso desenha circunferências; a régua traça segmentos de rectas;o esquadro desenha

ângulos; o transferidor mede a amplitude de um ângulo; o pantógrafo desenha figuras semelhantes; a calculadora efectua cálculos; . . . ; o computador representa objectos impossíveis.

            Uma ferramenta cada vez mais precioso é o computador. Com ele é agora possível fazer cálculos que um homem levaria anos a fazer.
            Com estes instrumentos, a matemática também pode construir realidades.  

A matemática e os outros saberes

            O conhecimento matemático distingue-se de todos os outros saberes pelo seu carácter abstracto. As suas definições são fixas e existem num mundo coeso e imaginário.

            Mas os conceitos matemáticos estão intimamente relacionados com a vivência e a percepção das coisas, originando por vezes algumas "aparentes" contradições: o zero (0) impõe uma existência de notação para o que não existe, para o nada; os números negativos demonstram uma contagem do que não se tem, dos débitos; o infinito (¥ ) é um conceito do que está para além de tudo, mas é tratado como se fosse um número; etc. As definições matemáticas existem e têm significado na matemática.

            Mas alguém alguma vez desenhou uma recta? Uma esfera? Um quadrado? Não!!

            Os conceitos matemáticos são aproximações mais ou menos adequadas à realidade. Esta é muito mais complexa. E quem aplica a matemática à realidade deverá ter sensatez e sabedoria. Deste modo, a criação matemática e a sua utilização depende da sociedade e dos seus valores.

            O matemático Hersh afirmou que a abstracção é a alma da matemática. Partindo de algumas ideias ou princípios e tendo por base algumas regras bem definidas, criam-se novas definições das quais muitas vezes se inferem propriedades. O alemão Novalis chegou mesmo a afirmar que a matemática pura é uma religião, porque um conhecimento matemático depois de demonstrado e aceite pela comunidade cientifica é usado como certo por qualquer um, é coerente e raramente é posta em causa. No Livro "The Analyst" em 1734, o bispo e matemático George Berkeley mostrou que a matemática é imperfeita e errónea (o que permitiu mais tarde que outros matemáticos a tenham desenvolvido). Apesar de alguns dos seus fundamentos serem postos em causa, como o método de demonstração de teoremas, a matemática continua a ser a ciência do rigor e da ordem. E podemos considerar a matemática como o cimento unificador de todos os saberes.

 

A matemática na escola

        A matemática que se estuda na escola aplica-se facilmente às necessidades quotidianas. Isto é obvio até ao 9º ano mas no ensino secundário parece que ela não tem tanta utilidade. Mas não é por acaso que se estuda matemática nas escolas.

Antes de mais, ela é útil para promover o pensamento estruturado e o raciocínio rigoroso. Por outro lado, a sociedade evoluiu exigindo cada vez mais conhecimentos matemáticos a todos os cidadão. Um arquitecto dirá que a Matemática é útil para auxiliar a percepção e a criação da beleza; um engenheiro dirá que é útil para reforçar e aprovar experiências; um físico dirá que é útil por ser a linguagem da ciência; um político dirá que a Matemática orienta-o na administração e na implementação de leis; um psicólogo afirmará que auxilia-o no tratamento estatístico de inquéritos; um matemático mostrará que um corpo matemático é útil quando for aplicável a outro corpo. A matemática é um saber necessário a todas as disciplinas e ciências, devido ao seu rigor. Deste modo se mostra que as outras ciências não se desenvolveriam se a matemática não existisse e não fosse estudada.

            De certa forma todos somos matemáticos e fazemos matemática com regularidade: fazer as contas das compras; medir uma divisão para pôr alcatifa; escolher itinerários; relacionar conjuntos de bens; inferir e concluir a partir de premissas; etc. E confiamos sempre na exactidão dos nossos raciocínios até prova em contrário.
            Podemos considerar que a aprendizagem da matemática nas escolas é paralela ao desenvolvimento da humanidade. O Homem há 10 mil anos mal sabia contar e agora calcula a trajectória de um satélite. De modo semelhante, uma criança aprende a contar com 6 anos e ao longo da sua adolescência vai aprendendo em pouco tempo aquilo que levou anos e anos a ser inventado. A matemática conhecida por um aluno do 9º ano impressionaria o rei D. Afonso V e certamente o convidaria para trabalhar na corte.
 

Saber matemática

            Para saber matemática é indispensável conhecer as suas definições e saber utilizá-las adequadamente. Ao longo do estudo, cada vez são necessárias mais definições que utilizam as já conhecidas. Por isso, não saber a tabuada dificulta ou impossibilita o cálculo das operações com números relativos e depois prejudicará a resolução de equações e mais tarde o estudo de funções, . . . A matemática é como um grande arranha-céus: se esqueces as bases podes perder o prédio todo. As definições da matemática são elementares mas relacionadas. Enquanto se estuda matemática vai-se conhecendo as definições, alguns exemplos, observações e finalmente resolve-se exercícios.

            Para saber matemática é necessário estudar, estudar, estudar. É este o segredo do sucesso.

            Vamos explorar algumas definições que traduzem o que acabámos de ver.

            Pega num papel e num lápis e faz uns riscos.

            Certamente alguns deles são segmentos de recta ou curvas.

            Agora desenha uma linha constituída por segmentos de recta unidos cada um a cada um pelas extremidades. Se uma formiga percorrer esta figura plana e voltar ao ponto de partida sem precisar de saltar, chamamo-lhe linha poligonal fechada ou polígono. Se a formiga tiver que saltar uma vez, chamamo-lhe linha poligonal aberta.

            Vamos estudar as linhas poligonais começando pela mais simples.

            Desenha dois segmentos de recta unindo duas extremidades. Obténs uma porção de um ângulo que não forma um polígono. Desenha um polígono constituído por três segmentos de recta (chamamo-lhe triângulo). E assim sucessivamente, desenhas um quadrilátero (4 lados), um pentágono (5 lados), um hexágono (6 lados), etc.

            O que podemos descobrir em cada uma destas figuras? Podemos classificar (dar um nome) o polígono tendo em consideração o comprimento dos lados. Podemos estudar os seus ângulos. Ou estudar os seus perímetros. Ou as suas áreas. Ou desenhar segmentos de recta unindo os seus vértices e estudar a nova figura obtida. Ou . . .

            Desta forma vamos conhecendo e tirando conclusões, que podem vir a ser chamadas de fórmulas, propriedades, teoremas ou apenas exercícios. E assim fazemos matemática.

Para saber mais:

[ 1] Hersh, Philip J. Davis e Reuben, A experiência matemática, Gradiva, Lisboa, 1995. [ 2] Gerdes, Paulus, Etnomatemática - cultura, matemática, educação, Instituto Superior Pedagógico, Maputo, 1991.  [ 3] Struik, Dirk J., História Concisa das Matemáticas, Gradiva, Lisboa, 1991. [ 4] Galeria de Matemáticos, Jornal da Mathematica Elementar, Lisb, 1991.

[ 5] Flato, Moshé, O poder da matemática, Terramar, Lisboa, 1994. [ 6] Radice, Lucio Lombardo, A matemática de Pitágoras a Newton, Edições 70, Lisboa, 1985.   [ 7] Caraça, Bento de Jesus, Conceitos fundamentais da matemática, Livraria Sá da Costa Editora, Lisboa, 1989.

Actividades

1. Escreve um pequeno texto sobre a matemática ou sobre algum matemático e apresenta-o ao teu professor.

2. Procura saber que textos de matemática existem na tua Biblioteca. [ No mínimo existirá uma enciclopédia em que a matemática é um tema abordada]

3. Indica três civilizações da antiguidade onde se desenvolveu mais a matemática

4. Napoleão afirmou que "O avanço e o aperfeiçoamento da matemática estão ligados à prosperidade do estado". Comenta a afirmação.

5. Apresenta, justificando, três profissões que utilizam matemática e três que não precisam dela.

6. Para cada uma das seguintes afirmações, indica se é verdadeira ou falsa, corrigindo as falsas:
a) Apenas os povos mais desenvolvidos têm conhecimentos matemáticos;
b) A matemática é um saber acabado;
c) A matemática é útil para o progresso da sociedade;
d) Todos as ciências necessitam de conhecimentos de matemática;
e) A matemática que se aprende na escola não tem aplicações.
f) Para saber resolver exercícios de matemática basta conhecer as principais definições.

7. O conceito de proporcionalidade directa é aplicado regularmente por todos nós. Por exemplo, determina o número médio de litros de combustível que o automóvel do teu pai gasta em 100 Km.

8. Escreve tudo o que saibas (e o que consigas encontrar) sobre triângulos (desenha triângulos, escreve definições, apresenta propriedades, ...).

9. A Teoria Fractal é um novo ramo (com 20 anos?) de investigação em matemática. Os fractais são formas geométricas, complexas e detalhadas, qualquer que seja o nível de redução ou ampliação. A partir de algumas fórmulas matemáticas é possível construir modelos da realidade. Observa alguns exemplos.

Apêndice A

Mapa Cronológico do desenvolvimento da Matemática

  Apêndice B

Breve Tabela Cronológica do Conhecimento Matemática Até 1910

Apêndice C

Classificação (AMS) dos Ramos da Matemática em 1991  

MARCAS HISTÓRICAS DA MATEMÁTICA MODERNA NO BRASIL
Resumo O Movimento da Matemática Moderna, desencadeado no Brasil, especialmente em 1960 e 1970, provocou mudanças significativas nas práticas escolares. No entanto, ainda não conhecemos o alcance e as implicações dessas mudanças nas práticas pedagógicas de Matemática. O presente artigo, ao focalizar aspectos históricos desse movimento, aponta formas de sua apropriação pela comunidade científica brasileira como também tenta localizar formas possíveis de inserção das idéias modernizadoras na materialidade do cotidiano escolar. Inicialmente, focaliza antecedentes do Movimento da Matemática Moderna, analisando ações desencadeadas pela comunidade científica em prol da propagação do movimento que “revolucionou” o ensino de Matemática, especialmente, ações efetivadas pelos participantes dos Congressos Brasileiros de Ensino de Matemática, realizados no Brasil, na década de 50. Em seguida, localiza, nas provas de Matemática do Exame de Admissão ao Ginásio aplicadas, no Estado de São Paulo, no período de 1931 a 1969, vestígios das alterações ocorridas no ensino de Matemática, durante esse período. Finalmente, mostra formas de incorporação das idéias da Matemática Moderna nas práticas escolares, utilizando relatos de dilemas vividos em sala de aula por uma protagonista do movimento nos anos 60. Ao desvelar aspectos da penetração do movimento na escola brasileira, o presente estudo sinaliza para as implicações e conseqüências na experiência matemática dos agentes escolares, destacando a importância e a necessidade de ampliação de estudos culturais acerca da vida e morte desse movimento, que assustou pais e ocupou, de forma exagerada a cabeça dos alunos, com uma simbologia rigorosa e abstrata, que em nada enriqueceu a formação científica do cidadão.
Palavras-chave : movimento da matemática moderna, práticas escolares,marcas históricas.
Abstract The Modern Mathematics Movement, started in Brazil, especially between the 60’s and 70’s of the last century, has brought significant changes to the educational practices in the school. However, we do not know yet the length and reflexes of those changes in the Math teachers’ pedagogical practices. The present article, focus on the historical aspects of this movement, and points out forms to its appropriation by the Brazilian scientific community as well as it tries to identify possible forms of introducing modern ideas in the everyday school practice. The article begins with the antecedents of the Modern Mathematics Movement, analyzing the actions triggered by the scientific community in favour of the dissemination of the movement that revolutionized the Math teaching, especially, the effective actions taken by the participants of the Math Teaching Congresses, held in Brazil, during the 50’s. After that, it identifies, in the Math tests of the Admission Exam to the “Ginásio” (junior high school) applied in the state of São Paulo, hints to the alterations in the Math programs adopted by the schools at that time, which included Modern Math. Finally, it demonstrates forms of absorbance of renewing ideas in the school practices, by the report of the dilemmas faced in the classroom by a pro-active teacher of the 60’s movement. By revealing such aspects of the penetration of the movement within the Brazilian school, the present study points out some implications and consequences of the mathematics experience of school agents, highlighting the importance and the need of further and profound cultural studies around this movement that used the hard and abstract simbology of Mathematics as a tool to the scientific formation of citizenship.

EQUAÇÃO DO 2° GRAU

A fórmula quadrática de Sridhara (Bhaskara)

Mostraremos na sequência como o matemático Sridhara, obteve a Fórmula (conhecida como sendo) de Bhaskara, que é a fórmula geral para a resolução de equações do segundo grau. Um fato curioso é que a Fórmula de Bhaskara não foi descoberta por ele mas pelo matemático hindu Sridhara, pelo menos um século antes da publicação de Bhaskara, fato reconhecido pelo próprio Bhaskara, embora o material construído pelo pioneiro não tenha chegado até nós.

O fundamento usado para obter esta fórmula foi buscar uma forma de reduzir a equação do segundo grau a uma do primeiro grau, através da extração de raízes quadradas de ambos os membros da mesma.

DEFINIÇÃO

Uma equação do 2º grau com uma variável tem a forma:

ax² + bx + c = 0

onde os números reais a, b e c são os coeficientes da equação, sendo que a deve ser diferente de zero. Essa equação é também chamada de equação quadrática, pois o termo de maior grau está elevado ao quadrado

x é a incógnita

a,b, e c números reais, chamados de coeficientes


Equação Completa do segundo grau



Uma equação do segundo grau é completa, se todos os coeficientes a, b e c são diferentes de zero.

Exemplos:

1) 2 x² + 7x + 5 = 0, onde a = 2, b = 7 e c = 5

2) 3 x² + x + 2 = 0, onde a = 3 , b = 1 e c = 2

3)  x² -7 x + 10 = 0, onde a = 1, b = -7 e c = 10

4) 5x² - x -3 = 0, onde a = 5, b = -1 e c = -3



Resolução de equações completas do 2° grau

Como vimos, uma equação do tipo: ax² + bx + c= 0, é uma equação completa do segundo grau e para resolvê-la basta usar a fórmula quadrática (atribuída a Bhaskara), que pode ser escrita na forma:

Δ = b²- 4ac é o discriminante da equação.

Para esse discriminante Δ, há três possíveis situações:

1) Δ > 0 , a equação te duas raízes reais e diferentes.

2)  Δ = 0, a equação tem uma raiz

3)  Δ < 0 , a equação não tem raízes reais

Mostraremos agora como usar a fórmula de Bhaskara para resolver a equação:

x² - 5 x + 6 = 0

1) Identificar os coeficientes: a = 1, b = -5, c = 6

2) Escrever o discriminante Δ = b²-4ac.

3) Calcular Δ = (-5)² -4×1×6 = 25-24 = 1

4) Escrever a fórmula de Bhaskara:













EXEMPLOS

EXERCÍCIOS

1. Calcular o discriminante de cada equação e analisar as raízes em cada caso:

a) x² + 9 x + 8 = 0 (R:-1 e -8)
b) 9 x² - 24 x + 16 = 0 (R:4/3)
c) x² - 2 x + 4 = 0 (vazio)
d) 3 x² - 15 x + 12 = 0 (R: 1 e 4)
e) 10 x² + 72 x - 64 = 0 (R:-8 e 4/5)
e) 5x² - 3x - 2 = 0 (R: 1 e -2/5)
f) x² - 10x + 25 = 0 (R: 5)
g) x² - x - 20 = 0 (R: 5 e -4)
h) x² - 3x -4 = 0 (R: 4 e -1)
i) x² - 8x + 7 = 0 (R: 7 e 1)



RESOLVA AS EQUAÇÕES DE 2º GRAU


1) x² - 5x + 6 = 0 _____(R:2,3)
2) x² - 8x + 12 = 0 ______(R:2,6)
3) x² + 2x - 8 = 0______ (R:2,-4)
4) x² - 5x + 8 = 0 ______(R:vazio)
5) 2x² - 8x + 8 = 0_______ (R:2,) 
6) x² - 4x - 5 = 0_______ (R:-1, 5)
7) -x² + x + 12 = 0_______ (R:-3, 4)
8) -x² + 6x - 5 = 0_______ (R:1,5)
9) 6x² + x - 1 = 0______ (R:1/3 , -1/2)
10) 3x² - 7x + 2 = 0 ______(R:2, 1/3)
11) 2x² - 7x = 15 _______(R:5, -3/2)
12) 4x² + 9 = 12x______ (R:3/2)
13) x² = x + 12 ______(R:-3 , 4)
14) 2x² = -12x - 18 _____(R:-3 )
15) x² + 9 = 4x_____ (R: vazio)
16) 25x² = 20x – 4 ____(R: 2/5)
17) 2x = 15 – x² ______(R: 3 , -5)
18) x² + 3x – 6 = -8____ (R:-1 , -2)
19) x² + x – 7 = 5 ____(R: -4 , 3)
20) 4x² - x + 1 = x + 3x² ___(R: 1)
21) 3x² + 5x = -x – 9 + 2x²____ (R: -3)
22) 4 + x ( x - 4) = x _____(R: 1,4)
23) x ( x + 3) – 40 = 0 _____(R: 5, -8)
24) x² + 5x + 6 = 0 _____(R:-2,-3)
25) x² - 7x + 12 = 0 _____(R:3,4)
26) x² + 5x + 4 = 0 _____(R:-1,-4)
27) 7x² + x + 2 = 0 _____(vazio) 
28) x² - 18x + 45 = 0 _____(R:3,15)
29) -x² - x + 30 = 0 _____(R:-6,5)
30) x² - 6x + 9 = 0 _____(R:3)
31) ( x + 3)² = 1_______(R:-2,-4)
32) ( x - 5)² = 1_______(R:6,4)
33)( 2x - 4)² = 0_______(R:2)
34) ( x - 3)² = -2x²_______(R:vazio)

35)Na equação 3x² - 12 = 0 as soluções são:
a)0 e 1
b)-1 e 1
c)-2 e 2 (x)
d)-3 e 3
e)0 e 4

36) x² + 3x - 28 = 0 (R: -7,4)
37) 3x² - 4x + 2 = 0 (R: vazio)
38) x² - 3 = 4x + 2 (R: -1,5)




PROBLEMAS COM EQUAÇÃO DO 2° GRAU



1) A soma de um numero com o seu quadrado é 90. Calcule esse numero. (R:9 e-10)

2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. Calcule esse numero (R: 3 e -4)
3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. Calcule esse número. (R:1)

4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. Calcule esse número (R:10 e -8)

5) O quadrado de um número aumentado de 25 é igual a dez vezes esse número. Calcule esse número (R: 5)

6) A soma do quadrado de um número com o seu triplo é igual a 7 vezes esse número. Calcule esse número.(R: 0 e 4)

7) O quadrado menos o quádruplo de um numero é igual a 5. Calcule esse número (R: 5 e -1)

8) O quadrado de um número é igual ao produto desse número por 3, mais 18. Qual é esse numero? (R: 6 e -3)

9) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse numero por 7 menos 3. Qual é esse numero? (R:3 e ½)

10) O quadrado de um número menos o triplo do seu sucessivo é igual a 15. Qual é esse numero?(R: 6 e -3)

11) Qual o número que somado com seu quadrado resulta em 56?  (R:-8 e 7)

12) Um numero ao quadrado mais o dobro desse número é igual a 35. Qual é esse número ? (R:-7 e 5)

13) O quadrado de um número menos o seu triplo é igual a 40. Qual é esse número? (R:8 e -5)

14) Calcule um número inteiro tal que três vezes o quadrado desse número menos o dobro desse número seja igual a 40. (R:4)

15) Calcule um número inteiro e positivo tal que seu quadrado menos o dobro desse número seja igual a 48. (R:8)

16) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. Qual é esse número? (R:1 e 2)

17) Qual é o número , cujo quadrado mais seu triplo é igual a 40?    ( R: 5 , -8)

18) O quadrado de um número diminuido de 15 é igual ao seu dobro. Calcule esse número.
(R: 5 e -3)

19) Determine um número tal que seu quadrado diminuído do seu triplo é igual a 28. (R:7 e -4)

20) Se do quadrado de um número, negativo subtraimos 7, o resto será 42. Qual é esse número?
(R: -7)

21) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. Calcule o número. (R: 7)

22) Determine dois números ímpares consecutivos cujo produto seja 143. (R: 11 e 13 ou -11, -13)

23) Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? (R:15 cm)



RESOLUÇÃO DE EQUAÇÃO INCOMPLETAS



Resolver uma equação é determinar todas as suas soluções. Vejamos, através de exemplos, como se resolvem as equações incompletas do 2° grau


1° CASO – equações da forma ax² + c = 0, (b = 0)

Exemplos:

1) x² - 25 = 0
    x² = 25
    x = √25
    x = 5
logo V= (+5 e -5)

2) 2x² - 18 = 0
    2x² = 18
     x² = 18/2
     x² = 9
     x = √9
     x = 3
logo V= (-3 e +3)

3) 7x² - 14 = 0
    7x² = 14
      x² = 14/7
      x² = 2
      x = √2
logo V = (-√2 e +√2)

4) x²+ 25 = 0
    x² = -25
    x = √-25

obs: não existe nenhum número real que elevado ao quadrado seja igual a -25

EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² - 49 = 0 (R: -7 e +7)
b) x² = 1 (R: +1 e -1)
c) 2x² - 50 = 0 (R: 5 e -5)
d) 7x² - 7 = 0 (R: 1 e -1)
e) 5x² - 15 = 0 (R: √3 e -√3)
f) 21 = 7x² (R: √3 e -√3)
g) 5x² + 20 = 0 (R: vazio)
h) 7x² + 2 = 30 (R: 2 e -2 )
i) 2x² - 90 = 8 (R: 7 e -7)
j) 4x² - 27 = x² (R:3 e -3)
k) 8x² = 60 – 7x² (R: 2 e -2)
l) 3(x² - 1 ) = 24 (R: 3 e -3)
m) 2(x² - 1) = x² + 7 (R:3 e -3)
n) 5(x² - 1) = 4(x² + 1) (R:3 e -3)
o) (x – 3)(x + 4) + 8 = x (R:2 e -2)
p) 4x²= 36 (R: 3, -3)   
q) 4x² - 49 = 0 ( R: 7/2, -7/2) 
r) 16 = 9x² (R: 4/3 , -4/3)
s) 3x² + 30 = 0 (R: vazio)
t) 9x² - 5 = 0 (R: √5/3 , -√5/3)



2° CASO: Equações da forma ax² + bx = 0 ( c = 0)

Propriedade: Para que um produto seja nulo é preciso que um dos fatores seja zero .

Exemplos

1) resolver x² - 5x = 0
fatorando x ( x – 5) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

e o outro x – 5 = 0 , passando o 5 para o outro lado do igual temos x = 5

logo V= (0 e 5)

2) resolver: 3x² - 10x = 0
fatorando: x (3x – 10) = 0

deixando um dos fatores nulo temos x = 0

Tendo também 3x – 10 = 0
3x = 10
x = 10/3

logo V= (0 e 10/3)

Observe que, nesse caso, uma das raízes é sempre zero.


EXERCÍCIOS

1) Resolva as seguintes equações do 2° grau.

a) x² - 7x = 0 (R: 0 e 7)
b) x² + 5x = 0 (R: 0 e -5)
c) 4x² - 9x = 0 (R: 0 e 9/4)
d) 3x² + 5x =0 (R: 0 e -5/3)
e) 4x² - 12x = 0 (R: 0 e 3)
f) 5x² + x = 0 (R: 0 e -1/5)
g) x² + x = 0 (R: 0 e -1)
h) 7x² - x = 0 (R: 0 e 1/7)
i) 2x² = 7x (R: 0 e 7/2)
j) 2x² = 8x (R: 0 e 4)
k) 7x² = -14x (R: 0 e -2)
l) -2x² + 10x = 0 (R: 0 e 5)

2) Resolva as seguintes equações do 2° grau

a) x² + x ( x – 6 ) = 0 (R: 0 e 3)
b) x(x + 3) = 5x (R: 0 e 2)
c) x(x – 3) -2 ( x-3) = 6 (R: 0 e 5)
d) ( x + 5)² = 25 (R: 0 e -10)
e) (x – 2)² = 4 – 9x (R: 0 e -5)
f) (x + 1) (x – 3) = -3 (R: 0 e 2)



EQUAÇÃO FRACIONÁRIA DO 2º GRAU



Nessas equações (há incónita no denominador), devemos garantir que nenhum dos denominadores se anule

exemplos:

vejamos através de exemplos, como se resolvem as equações fracionárias.

exemplo 1

exemplo 2

EXERCÍCIOS

1) Resolva as equações do 2º grau em R

EQUAÇÕES LITERAIS 


Nessas equações, além da incógnita x , aparecem outras letras (a,b,c,m,n ....), que são chamadas de parâmetros, vamos resolver a equação: